Bunsen foi o mais novo de quatro filhos. Após ter terminado os estudos escolares em Holzminden, estudou química na Universidade de Göttingen. Obteve o doutoramento com 19 anos de idade. Em seguida, entre 1830 e 1833, viajou através da Europa Ocidental. Durante este tempo encontrou-se com Carl Runge, o descobridor da anilina, Justus von Liebig em Giessen, e Mitscherlich em Bonn.
Retornando à Alemanha, Bunsen passou a lecionar em Göttingen, iniciando seus estudos experimentais sobre a (in)solubilidade dos sais metálicos do ácido arsenioso. Atualmente sua descoberta do uso do óxido de ferro hidratado como um agente precipitante é, ainda, o melhor antídoto conhecido para combater o envenenamento por arsénico.
Em 1836 sucedeu Friedrich Woehler em Kassel. Após dois anos aceitou um cargo na Universidade de Marburg, onde estudou derivados da arsina. Embora o trabalho de Bunsen ser aclamado, quase morreu de envenenamento por arsénico. Custou-lhe também a perda da visão de um olho, quando uma explosão projetou um fragmento de vidro num olho. Em 1841 Bunsen criou o elétrodo de carbono que poderia substituir o caríssimo elétrodo de platina, utilizado na bateria de William Robert Grove.
Bunsen foi um dos cientistas da sua geração mais admirados universalmente. Foi um mestre, dedicado aos seus alunos, e eles foram igualmente dedicados a ele. Em momentos de fortes e muitas vezes cáusticos debates científicos, Bunsen sempre se comportou como um perfeito cavalheiro, mantendo distância das disputas teóricas. Preferia muito mais trabalhar em silêncio em seu laboratório, enriquecendo a ciência com as descobertas úteis. Por uma questão de princípio, nunca registrou uma patente, apesar do facto de suas descobertas terem lhe rendido uma grande riqueza. Bunsen nunca se casou.
Quando Bunsen se reformou, com 78 anos de idade, mudou o foco de seu trabalho exclusivamente para a geologia e mineralogia, um interesse que tinha levado a cabo ao longo de sua carreira. Morreu em Heidelberg, aos 88 anos de idade. Está sepultado no Bergfriedhof em Heidelberg.
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